Models matemàtics, autòmats cel·lulars, el premi Nobel d’Economia i la Independència de Catalunya.

Josep Lluís García. Professor del Departament d’Economia i Empresa

Sovint parlo als meus alumnes de models matemàtics. Abans, però, els demano què és un “model”, què s’entén quan algú o quelcom “és un model”. La resposta que em donen, en general, és que és quelcom que ens mostra el camí correcte, és quelcom a imitar. Em fa gràcia aquesta resposta, que és correcte en algun context. Un model (també) és qualsevol representació simplificada de la realitat. Molt sovint utilitzem models en aquest darrer sentit sense adonar-nos: un mapa no és res més que la representació bidimensional de la superfície terrestre; una esfera és la representació d’un planeta; una maqueta representa un edifici o un avió real; la Heidi Klum desfilant a la passarel·la representa a qualsevulla dona (sí, és així noies, no us traieu mèrits 😉 ).

Fem servir els models per a interpretar la realitat. El món és molt complex, els fenòmens que presenciem són complicats de comprendre, i els models ens ajuden a entendre’ls. Un mapa, una maqueta i la Heidi Klum són models físics. En el món dels científics també es treballa amb models físics (sobretot en experimentació), però sovint treballem amb models abstractes. Segurament el model científic abstracte més conegut és la Llei de Gravitació Universal d’Isaac Newton, que descriu l’atracció F de dos cossos de masses m₁ i m₂ segons l’equació matemàtica

on G és una constant i d és la distància entre els dos cossos. Els models matemàtics descriuen fenòmens mitjançant el llenguatge matemàtic; en el cas anterior, descriuen la interacció entre dos cossos.

També poden explicar els canvis que certes magnituds experimenten en transcórrer el temps. Durant la primera Guerra Mundial (1914-1918), es va observar un significatiu augment del nombre d’individus d’espècies depredadores en el mar Adriàtic que contrastava amb una important disminució dels peixos que els servien de preses. Les autoritats buscaven una explicació i el matemàtic italià Vito Volterra la va donar al 1925 en termes d’un model matemàtic basat en equacions diferencials que descrivia el canvi en les poblacions de depredadors y(t) i preses x(t) en un instant t:

on b,p,r i d són paràmetres. Sorprenentment, el model descrivia a la perfecció les oscil·lacions observades i ha esdevingut un model clàssic aplicable en molts contexts (les anomenades equacions de Lotka-Volterra).

A les acaballes dels 80, Microsoft incloïa al seu sistema operatiu Windows el joc LifeGenesis (vegeu-ne un vídeo descriptiu, els nostàlgics que preparin un mocador), basat en el Joc de la Vida (1970) del matemàtic anglès John Conway. Es tracta d’un model de simulació o computacional on en una graella buida s’hi “pinten” caselles de diferents colors (que poden representar individus de diferents característiques) i es deixa evolucionar el sistema segons un llistat de normes que descriuen les interaccions entre individus (per exemple, un individu blau desapareix si té 2 o més individus veïns de color vermell). Aquests models no permeten explicar directament fenòmens reals de manera teòrica com el model de Volterra, però ofereixen una informació vital per a formular hipòtesis raonables. A més, són senzills de programar i barats d’executar. Són anomenats autòmats cel·lulars o models basats en agents.

Al 2005, l’economista nord-americà Thomas Schelling (1921-) va rebre el Premi Nobel d’Economia (conjuntament amb Robert Aumann) per les seves aportacions a la comprensió dels conflictes i la cooperació en la Teoria de Jocs, una branca de la ciència econòmica. Entre 1969 i 1971 publicà els seus treballs sobre segregació de la població per motius de raça, que  han estat enormement citats. Schelling descriu l’evolució de la residència de dues poblacions, de blancs i de negres, inicialment barrejades en la graella d’un autòmat cel·lular. A cada instant de temps, cada individu d’ambdues poblacions mira al seu veïnat i decideix canviar de residència (marxar a una casella buida) si el nombre de veïns supera el seu nivell de tolerància (per exemple, un blanc pot tolerar un 25% de veïns negres, o un 50%, o un 75%, …). És sorprenent observar que fins i tot per a nivells de tolerància alts, el resultat final del model és la completa segregació, és a dir, cada raça viu envoltada de veïns de la seva pròpia raça i no es donen barreges d’individus de diferents races. Podeu jugar a separar races amb aquesta applet.

Darrerament, diferents investigadors han pogut descriure amb equacions matemàtiques l’evolució de determinats autòmats cel·lulars mitjançant l’ús de l’Aproximació per Parells (Pair Approximation, vegeu per exemple [1] i les referències citades). Aquesta tècnica esdevé intractable a nivell teòric, però, quan el nombre de “poblacions” diferents augmenta, i aleshores només és possible la simulació per ordinador.

Els estudis de Schelling són aplicables (amb matisos) a l’actual debat sobre la independència de Catalunya. Si, com sembla, la societat catalana està dividida entre dues faccions de postures irreconciliables (separatistes i unionistes, podem dir-ne), els models preveuen una escissió segura, i només serà a curt o a llarg termini en funció del nivell de tolerància d’ambdues parts. La consulta està servida (?). [i]